Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Х't = 3x + 2y, Y't = x + 2y.

Действуем так: из 2 уравнения выражаем х, находим x' и подставляем х и х' в 1 уравнение [latex]x=y'-2y[/latex]. [latex]x'=y''-2y'[/latex] [latex]y''-2y'=3(y'-2y)+2y[/latex] [latex]y''-2y'=3y'-6y+2y[/latex] [latex]y''-5y'+4y=0[/latex]\ Получилось однородное уравнение 2 порядка, решаем его через характеристическое уравнение [latex]k^2-5k+4=0[/latex] [latex](k-1)(k-4)=0[/latex] [latex]k_1=1;k_2=4[/latex] Так как корни различны, то запишем общее решение этого уравнения так: [latex]y=C_1e^{x}+C_2e^{4x}[/latex] Помним, что [latex]x=y'-2y[/latex], поэтому найдем y'  и подставим у и у' в это уравнение [latex]y'=C_1e^{x}+4C_2e^{4x}[/latex] [latex]x=C_1e^{x}+4C_2e^{4x}-2(C_1e^{x}+C_2e^{4x})=-C_1e^{x}+2C_2e^{4x}[/latex] Ответ: [latex] \left \{ {{x=-C_1e^{x}+2C_2e^{4x}} \atop {y=C_1e^{x}+C_2e^{4x}}} \right. [/latex]