Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Х't = 3x + 2y, Y't = x + 2y.
Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Х't = 3x + 2y,
Y't = x + 2y.
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
Действуем так:
из 2 уравнения выражаем х, находим x' и подставляем х и х' в 1 уравнение
[latex]x=y'-2y[/latex].
[latex]x'=y''-2y'[/latex]
[latex]y''-2y'=3(y'-2y)+2y[/latex]
[latex]y''-2y'=3y'-6y+2y[/latex]
[latex]y''-5y'+4y=0[/latex]\
Получилось однородное уравнение 2 порядка, решаем его через характеристическое уравнение
[latex]k^2-5k+4=0[/latex]
[latex](k-1)(k-4)=0[/latex]
[latex]k_1=1;k_2=4[/latex]
Так как корни различны, то запишем общее решение этого уравнения так:
[latex]y=C_1e^{x}+C_2e^{4x}[/latex]
Помним, что [latex]x=y'-2y[/latex], поэтому найдем y' и подставим у и у' в это уравнение
[latex]y'=C_1e^{x}+4C_2e^{4x}[/latex]
[latex]x=C_1e^{x}+4C_2e^{4x}-2(C_1e^{x}+C_2e^{4x})=-C_1e^{x}+2C_2e^{4x}[/latex]
Ответ: [latex] \left \{ {{x=-C_1e^{x}+2C_2e^{4x}} \atop {y=C_1e^{x}+C_2e^{4x}}} \right. [/latex]
Не нашли ответ?
Похожие вопросы