Найти общее решение y"-7y'=3x^2+4x+4

Данное уравнение - линейное неоднородное.  Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного. Соответствующее однородное уравнение имеет вид [latex]y'' - 7y' = 0[/latex].  Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид [latex]k^2 - 7k = 0[/latex]. Его корни [latex]k_1 = 0, k_2 = 7[/latex]. Общее решение однородного уравнения имеет вид [latex]y_0(x) = C_1e^{7x} + C_2[/latex], где C1, C2 - произвольные постоянные. Найдем частное решение неоднородного уравнения. Сделаем это методом подбора. Так как один из корней характеристического уравнения равен нулю, то "очевидный подбор" [latex]y = Ax^2 + Bx + C[/latex] следует умножить на x и в таком виде искать решение. То есть, ищем частное решение неоднородного уравнения в виде [latex]\tilde{y}(x) = x(Ax^2+Bx+C)[/latex], где A, B, C - неизвестные числа. Дифференцируя, находим выражения для y' и y'': [latex]y' = 3Ax^2+2Bx+C \\ y'' = 6Ax+2B[/latex]. Подставляем полученные выражения в уравнение: [latex](6Ax+2B) - 7(3Ax^2+2Bx+C) = 3x^2+4x+4 \\ -21Ax^2+(6A-14B)x+(2B-7C) = 3x^2+4x+4[/latex]. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, будем иметь: [latex]\left\{\begin{matrix}-21A=3\\6A-14B=4\\2B-7C=4\end{matrix}\right.[/latex] Решая эту систему, имеем: [latex]\left\{\begin{matrix} A=- \frac{1}{7} \\ B=- \frac{17}{49} \\ C=- \frac{230}{343} \end{matrix}\right.[/latex] То есть, частное решение неоднородного уравнения есть [latex]\tilde{y}(x) = - \frac{1}{7} x^3 - \frac{17}{49} x^2 - \frac{230}{343} x[/latex]. Значит общее решение неоднородного уравнения имеет вид [latex]y(x) = y_0(x) + \tilde{y}(x) = C_1e^{7x} + C_2 - \frac{1}{7} x^3 - \frac{17}{49} x^2 - \frac{230}{343} x[/latex].