Найти период колебаний колеса массой m и радиусом R, находящегося в ямке

Нарисуйте картинку. Угол между центром кольца и вертикалью назовем [latex]\Phi[/latex]. Угол, на который повернулось колесо (само) относительно состояния в положении равновесия, обозначим [latex]\varphi[/latex]. Радиус кольца - [latex]r[/latex], радиус ямы - [latex]R[/latex]. В задаче три вида энергии: кинетическая поступательного движения, кинетическая вращательного и потенциальная. Посчитаем каждую из них глядя на картинку. Кин. эн. поступ. движения: [latex]T_\mathrm{tr.}=\frac 12 mv_\mathrm{m.c.}=\frac 12 m (R-r)^2\dot\Phi^2;[/latex] Вращательного: [latex]T_\mathrm{spin}=\frac 12 mr^2\dot\varphi^2=\frac 12 mR^2\dot\Phi^2[/latex] (здесь использована кинематическая связь между углами [latex]\varphi r=\Phi R[/latex]) И потенциальная: [latex]\Pi=mgh_\mathrm{m.c.}=mg(R-r)(1-\cos \Phi)=\frac 12mg(R-r) \Phi^2[/latex] (последнее равенство, на самом деле, приближенное. Здесь использована малость угла [latex]\Phi[/latex], а именно, первые два члена разложения косинуса в ряд Тейлора: [latex]\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^4)[/latex]). Полная энергия в процессе движения, конечно, сохраняется. Так и запишем. [latex]\frac 12 m(R-r)^2\dot\Phi^2+\frac 12 mR^2\dot\Phi^2+\frac 12mg(R-r)\Phi^2=\mathrm{const}.[/latex] Вообще, по школьному алгоритму нужно сейчас это уравнение продифференцировать по времени, но можно этого и не делать, а вместо этого сказать такие слова: уравнение вида [latex]\dot y^2+\omega^2 y^2=\mathrm{const}[/latex] является тем, что в теоретической механике называется первым интегралом уравнения гармонического осциллятора [latex]\ddot y+\omega^2 y=0[/latex]. Омеги, стоящие перед вторыми членами в этих уравнениях в силу некоторых, скорее даже, математических причин, совпадают. Ну и все тогда, пишем квадрат круговой частоты, внимательно глядя на закон сохранения энергии. [latex]\omega^2=\frac{mg(R-r)}{m(R-r)^2+mR^2}\longrightarrow\boxed{T=2\pi\left(\frac{(R-r)^2+R^2}{g(R-r)}\right)^{1/2}}[/latex] Обратите внимание, что ответ не зависит от массы кольца! P.S. можно похулиганить немножко, предположив, что [latex]r^2=o(R)[/latex], то есть, что радиус ямы намного больше радиуса кольца. Тогда выражение для периода вырождается в соответствии с предположением (по рабоче-крестьянски, мы тут пренебрегаем квадратом радиуса кольца), в более красивый ответ: [latex]T=\pi\sqrt{\frac{2g}{R}}.[/latex] Обратите внимание, что в этом приближении ответ не зависит даже от радиуса кольца, но зависит, конечно, от радиуса ямы (который в условии очень напрасно не дан). Последнее легко видеть, положив радиус ямы равным бесконечности. Тогда у нас задача превращается в катание колеса по плоскости. В этом случае никаких колебаний нет, а формально, их период равен бесконечности. Теперь ясно, что ответ обязательно должен зависеть от радиуса ямы.