Найти все натуральные n, при которых число (3n-1)/(n+1) является целым

из условия следует, что 3n-1 = k(n+1),  где  к - целое число  и к>0 3n - 1 = kn +k 3n-kn = k+1 n(3-k) = k+1 n = (k+1)/(3-k), 3-к≠0 ⇒  к≠3 получим, что к =1  и к=2,  

n не равно 1, т.к. знаменатель не может быть равным нулю Пусть k - целое значение выражения, т.е.  (3n-1)/(n+1)=k Тогда 3n-1=k(n+1)    выразим n n(3-k)=k+1 n=(k+1)/(3-k) Подставляем вместо k числа k=-1 => n =0 (не подходит, н натуральное) k=0 n=1/3 (не подходит, н натуральное) k=1 n=1 (не подходит, иначе в знаменателе ноль) k=2 => n=3,  k=3=> n не существует, k=4 => n=-5/2 - (не подходит, н натуральное) Далее n будет только уменьшаться. До k=-1 n также является отрицательной. Ответ: n=3