Очень срочно! В квадрате ABCD на диагонали AC отметили точку P так, что AP:PC = 3:1. L - середина AB. Докажите, что угол LPD равен 90 градусам.

Решим координатным методом. Пусть сторона квадрата равна 4. Оси координат направим по сторонам AD и AB.  A(0,0); B(0,4); C(4,4), D(4,0), L(0,2); P(3,3). Вектор PL(0-3,2-3)=(-3,-1); вектор PD(4-3,0-3)=(1,-3); скалярное произведение PL·PD =(-3)·1+(-1)·(-3)=-3+3=0⇒ векторы перпендикулярны, что и требовалось доказать.