Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 7:6, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 48.

Обозначим точки пересечения с сторонами соответственных  биссектрис к [latex]AB,BC[/latex], [latex]M,N[/latex].  По свойству биссектрис получаем     [latex]\frac{AM}{BC}=\frac{AC}{BC}\\ [/latex]  заметим что  [latex]AN[/latex] будет так же биссектрисой треугольника  [latex]AMC[/latex].   Получаем [latex]\frac{AM}{AC}=\frac{6}{7}[/latex] так как [latex]AM+MC=48[/latex] [latex] AM=48-MB[/latex]  [latex]\frac{48-MB}{MB}=\frac{AC}{BC}\\ \frac{48}{MB}-1=\frac{AC}{BC} [/latex]   [latex]\frac{AM}{AC}=\frac{6}{7}\\ \frac{48-BM}{AC}=\frac{6}{7}\\ 336-7BM=6AC\\ 6AC+7BM=336\\ AC=\frac{336-7BM}{6}\\ \frac{48}{BM}-1=\frac{\frac{336-7BM}{6}}{BC}\\\\ \frac{48}{BM}-1=\frac{336-7BM}{6BC}\\\\ [/latex]  откуда получаем  [latex]7AM=6AC\\ 7BM=6BC[/latex]  суммируя  [latex]7(AM+BM)=6(AC+BC)\\ AM+BM=48\\\\ AC+BC=56\\ P=56+48=104[/latex]             Ответ [latex]104[/latex]