Около окружности радиуса 1 описана равнобочная трапеция, площадь которой равна 5. Найти площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

Пусть Трапеция ABCD; AB = CD; пусть точки касания AB с окружностью M, BC - K; CD - N; AD - P; надо найти площадь дельтоида MKNP; центр окружности пусть O. Площадь трапеции S = 5 = p*r; r = 1; поэтому p = 5;  поскольку суммы противоположных сторон равны, AB + CD = 2*AB = p  = 5; AB = 5/2; (Средняя линия (AD + BC)/2 тоже равна p/2, то есть равна боковой стороне. В решении это не пригождается, но полезно знать :) ) Треугольник AOB - прямоугольный, его гипотенуза AB = 5/2; высота равна OM = r = 1; Треугольник KMP тоже прямоугольный, так как KP - диаметр.  ∠OAB = 90° -  ∠MOA; то есть ∠MOA = ∠ABO; ∠MOA = (1/2)*∠MOP = ∠MKP; получилось ∠ABO = ∠MKP;  то есть прямоугольные треугольники AOB и MKP подобны.  Гипотенуза треугольника MKP KP = 2*r = 2; поэтому высота к гипотенузе равна OM*(KP/AB) = 4/5; само собой, это половина MN, то есть MN = 8/5; Площадь MNKP равна половине произведения диагоналей, то есть KP*MN/2 = 2*(8/5)/2 = 8/5;