Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y' cosx + y sinx = 1

Если левую и правую часть уравнения разделить на cos(x), то уравнение относится к типу линейным, неоднородным дифференциальным уравнениям. Применим метод Бернулли. Пусть [latex]y=uv[/latex], тогда [latex]y'=u'v+uv'[/latex]. Подставим в исходное уравнение. [latex]uv\sin x+(u'v+uv')\cos x = 1\\ u(v\cdot \sin x+v'\cdot \cos x)+u'v\cos x=1[/latex] Решение состоит из двух этапов: 1) Предполагаем что первое слагаемое примем за 0. [latex]u(v\cdot \sin x + v'\cdot \cos x)=0\\ v\sin x+v'\cos x=0|:\cos x\\ vtg x+v'=0\\ v'=-v\cdot tgx[/latex] Получили уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам, имеем: [latex]\displaystyle \frac{dv}{dx} =-v tg x[/latex]   [latex]\displaystyle \frac{dv}{v} =-tg x\,\, dx[/latex] - уравнение с разделёнными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения [latex]\displaystyle \int\limits { \frac{dv}{v} } = -\int\limits {tgx} \, dx\\ \ln|v|=\ln |cos x|\\ v=\cos x[/latex] 2) После того как нашли v(x), найдем u(x) из условия [latex]u'v\cos x=1[/latex] Подставим [latex]u'\cos ^2x=1\\ \\ u'= \dfrac{1}{\cos^2 x} [/latex] Получили уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя обе части уравнения, получим [latex]\displaystyle u= \int\limit {\dfrac{dx}{\cos^2 x} } =tg x+C[/latex] Таким образом, чтобы найти решение данного дифференциального уравнения, остаётся выполнить обратную замену. [latex]y=uv=(tg x + C)\cdot \cos x=\sin x+C\cdot \cos x[/latex] - общее решение. Ответ: [latex]y=\sin x+C\cdot \cos x[/latex]