Отрезок BK(K принадлежит стороне AC) разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника ABK и KBC , причем Sabk:Sbkc=1:3. Найдите углы треугольника

Заданное условие возможно только, если треугольник АВС прямоугольный, а отрезок ВК - это высота из вершины В на гипотенузу АС.То есть, угол В = 90°.  Так как треугольники имеют общую высоту, то АС точкой К делится в отношении 1:3 от точки А. Обозначим ВК = х, АК = у, КС = 3у. Из подобия треугольников запишем пропорцию: х/(3у) = у/х. Отсюда х² = 3у². Извлечём корень: х = у√3. Разделим обе части на у: х/у = √3.  х/у это тангенс угла А. Отсюда А = arc tg√3 = 60°. Угол С = 90-60 = 30°.