Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 32 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность.

Пусть a - сторона квадрата, а d - диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора d=√(a²+a²). Но a=32/4=8 см и тогда d=√128=8*√2 см, R=d/2=4*√2 см, где R - радиус окружности. Пусть b - сторона шестиугольника. По теореме косинусов, b²=R²+R²-2*R*R*cos(α), где α=2*π/6=π/3 - угол между радиусами окружности, проведёнными в соседние вершины шестиугольника. Тогда b²=2*R²*(1-cos(α))=2*32*(1-1/2)=64*1/2=32 см² и b=√32=4*√2 см. Ответ: 4*√2 см.