Периметр треугольника равен 12. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы  одной из его вершин больше 2.

Одно из основных свойств треугольника: Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c,   a > b – c;   и это верно для каждой стороны любого треугольника. Сумма двух сторон треугольника  периметра 12 должна быть обязательно больше его полупериметра, иначе треугольник не получится. И поэтому расстояние от любой точки плоскости - независимо от того, вне или внутри треугольника точка-   до хотя бы одной из вершин этого треугольника будет больше половины длины большей его стороны, т.е. больше 2.  Предположим, существует такая точка, расстояние от которой до вершин треугольника не больше 2-х.  Тогда она при соединении с каждой парой вершин треугольника должна образовать треугольник, сумма длин двух сторон которого 4 или меньше, а третья сторона  - обязательно меньше этой суммы по одному из основных свойств треугольника. Это верно для каждой пары вершин, и в итоге получится, что  каждая сторона исходного треугольника меньше 4, а его периметр  меньше 12, что противоречит условию задачи.    Следовательно, расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин треугольника с периметром 12 больше 2-х, что и требовалось доказать. ----- bzs@