Почему относительность длины и промежутка времени обнаруживается лишь при движении систем отсчета с скоростями, близкими к скорости света?

Потому что в формулы для релятивистских законов входит параметр v/c, где v - скорость частицы, а c - скорость света. В обычной жизни этим параметром можно пренебречь, так как повседневные скорости много меньше скорости света. В этом случае релятивистские формулы переходят в классические И только когда скорости становятся сравнимы со скоростью света, величиной этого параметра пренебречь нельзя и возникают заметные отклонения от законов классической физики