Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и 20 вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо ...

ПЕРВЫЙ СПОСОБ: Обозначим скорость поезда в начальный момент, как    [latex] v_o \ , [/latex] скорость, когда только один вагон проехал мимо наблюдателя:    [latex] v_1 \ , [/latex] когда только 6 последних вагонов не проехали наблюдателя:    [latex] v_6 \ , [/latex] и скорость , когда весь состав проехал мимо наблюдателя:    [latex] v \ . [/latex] В соответствии с условием: интервалы времени от состояния    [latex] v_o [/latex]    до    [latex] v_1 \ , [/latex]    и от состояния    [latex] v_6 [/latex]    до    [latex] v [/latex]    – одинаковы, а значит и изменение скорости одинаковое, поскольку движение равноускоренное: [latex] v - v_6 = v_1 - v_o \ ; [/latex]      [1] С другой стороны, от состояния    [latex] v_6 [/latex]    до    [latex] v [/latex]    – поезд проезжает расстояние вшестеро большее, чем от состояния    [latex] v_o [/latex]    до    [latex] v_1 [/latex]    – а значит, средняя скорость [latex] v_{6end} [/latex]    вшестеро больше средней скорости    [latex] v_{o-1} . [/latex] [latex] v_{6end} = 6 v_{o-1} \ ; [/latex] [latex] v + v_6 = 6 v_1 + 6 v_o \ ; [/latex] Сложим с [1] : [latex] v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o \ ; [/latex]      [2] Поскольку разность квадратов краевых скоростей при одном и том же ускорении пропорциональна пройденному пути, то: [latex] v^2 - v_o^2 = 21 ( v_1^2 - v_o^2 ) \ , [/latex] так как вся длина поезда составляет    [latex] 20 [/latex]    вагонов + локомотив. Подставляем [2] и получаем: [latex] ( 3.5 v_1 + 2.5 v_o )^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ; [/latex] [latex] 12.25 v_1^2 + 17.5 v_1 v_o + 6.25 v_o^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ; [/latex] [latex] 8.75 v_1^2 - 17.5 v_1 v_o - 26.25 v_o^2 = 0 \ ; \ \ \ \ || : 8.75 v_o^2 } [/latex] [latex] (\frac{v_1}{v_o})^2 - 2 \cdot \frac{v_1}{v_o} - 3 = 0 \ ; [/latex] [latex] \frac{v_1}{v_o} \in \{ -1 , 3 \} \ ; [/latex] [latex] v_1 = 3 v_o \ ; [/latex] Из [2]: [latex] v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o = 3.5 \cdot 3 v_o + 2.5 v_o = 13 v_o \ ; [/latex] ОТВЕТ:    [latex] \frac{v}{v_o} = 13 \ . [/latex] ВТОРОЙ СПОСОБ: Запишем уравнение движения передней точки поезда относительно наблюдателя: [latex] S = v_o t + \frac{at^2}{2} \ ; [/latex] Обозначим длину вагона, как    [latex] L . [/latex] Локомотив, потом почти весь состав без 6 вагонов, и затем весь состав – – проедут через время    [latex] t_o , t_6 [/latex]    и    [latex] t : [/latex] [latex] L = v_o t_o + \frac{a t_o^2}{2} \ ; [/latex]        [1] [latex] 15L = v_o t_6 + \frac{a t_6^2}{2} \ ; [/latex]        [2] [latex] 21L = v_o t + \frac{a t^2}{2} \ ; [/latex] Вычтем из последнего – предпоследнее: [latex] 6L = v_o ( t - t_6 ) + \frac{a}{2} ( t^2 - t_6^2 ) \ ; [/latex] Поскольку    [latex] t - t_6 = t_o , [/latex]    то, используя [1]: [latex] 6L = v_o t_o + \frac{a t_o}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o t_o + 6 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ; [/latex] [latex] v_o + \frac{a}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o + 6 \cdot \frac{a t_o}{2} \ ; [/latex] [latex] t + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ; [/latex] [latex] t_6 + t_o + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ; [/latex] [latex] t_6 = \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o \ ; [/latex] [latex] t = t_6 + t_o = \frac{5v_o}{a} + 3.5 t_o \ ; [/latex]            [3] Учитывая [2] : [latex] 15L = v_o ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o ) + \frac{a}{2} ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o )^2 \ ; [/latex] Используя [1] : [latex] 15L = \frac{35v_o^2}{2a} + 15 v_o t_o + \frac{ 25 a t_o^2 }{8} = 15 v_o t_o + 15 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ; [/latex] [latex] \frac{35v_o^2}{2a} = \frac{ 35 a t_o^2 }{8} \ ; [/latex] [latex] 4 \frac{v_o^2}{a} = a t_o^2 \ ; [/latex] [latex] ( \frac{ a t_o }{ v_o } )^2 = 4 \ ; [/latex] [latex] \frac{ a t_o }{ v_o } = 2 \ ; [/latex] [latex] a t_o = 2 v_o \ ; [/latex] Скорость в конце прохождения всего состава, учитывая [3] : [latex] v = v_o + a t = v_o + a ( \frac{5v_o}{a} + 3.5 t_o ) = [/latex] [latex] = v_o + 5v_o + 3.5 a t_o = 6 v_o + 3.5 \cdot 2 v_o = 13 v_o \ ; [/latex] ОТВЕТ:    [latex] \frac{v}{v_o} = 13 \ . [/latex]

ТРЕТІЙ СПОСОБЪ: Сдѣлаемъ дополнительныя построенія въ пространствѣ и во времени. Пусть длина вагона равна    [latex] L \ . [/latex]    Пусть передъ тѣмъ, какъ передняя точка локомотива равняется съ наблюдателемъ – поѣздъ неограниченное время ужѣ ѣдетъ съ тѣмъ же ускореніемъ. За начало отсчета времени примемъ тотъ моментъ, когда скорость поѣзда была равна нулю. Въ такомъ случаѣ уравненіе движенія поѣзда упростится и не будетъ содержать начальной скорости, однако, когда передняя точка локомотива поравняется съ наблюдателемъ – поѣздъ ужѣ проѣдетъ нѣкоторое разстояніе    [latex] xL \ . [/latex] Время    [latex] t_o [/latex]    въ это мгновеніе можно выразить, какъ: [latex] xL = \frac{at_o^2}{2} \ ; [/latex] [latex] t_o = \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ; [/latex]      [1] Аналогично имѣемъ время    [latex] t_1 \ , [/latex]    когда проѣдетъ локомотивъ: [latex] t_1 = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } \ ; [/latex] Время    [latex] t_6 \ , [/latex]    когда проѣдетъ почти вѣсь поѣздъ, но всё жъ пока-таки безъ шести вагоновъ: [latex] t_6 = \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } \ ; [/latex] Время    [latex] t \ , [/latex]    когда въ концѣ концовъ проѣдетъ вѣсь поѣздъ: [latex] t = \sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } \ ; [/latex]      [2] Изъ равенства времёнъ, имѣющагося въ условіи: [latex] t - t_6 = t_1 - t_o \ ; [/latex] [latex] \sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ; [/latex] [latex] \sqrt{ x + 21 } - \sqrt{ x + 15 } = \sqrt{ x + 1 } - \sqrt{x} \ ; [/latex] [latex] 2x + 36 - 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } = 2x + 1 - 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } \ ; [/latex] [latex] 35 + 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } \ ; [/latex] [latex] 1225 + 140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } + 4 x^2 + 4x = 4 ( x^2 + 36x + 315 ) \ ; [/latex] [latex] 140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 140x + 35 \ ; [/latex] [latex] 4 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 4x + 1 \ ; [/latex] [latex] 16x^2 + 16x = 16x^2 + 8x + 1 \ ; [/latex] [latex] 8x = 1 \ ; [/latex] [latex] x = \frac{1}{8} \ ; [/latex] Изъ выраженій [1] и [2] съ числовымъ значеніемъ    [latex] x [/latex]    ужѣ и слѣдуетъ отвѣтъ на вопросъ задачи: [latex] \frac{v}{v_o} = \frac{at}{at_o} = \frac{t}{t_o} = \frac{ \sqrt{ 2L(x+21)/a } }{ \sqrt{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ 2L(x+21)/a }{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ x + 21 }{ x } } = \\\\\\ = \sqrt{ 1 + \frac{21}{x} } = \sqrt{ 1 + \frac{21}{1/8} } = \sqrt{ 1 + 21 \cdot 8 } = \sqrt{ 169 } = 13 \ ; [/latex] ОТВѢТЪ :    [latex] \frac{v}{v_o} = 13 \ ; [/latex]