Помогите решить. Дифференциальное уравнение первого порядка. Найти частное решение уравнения. Х*У'=X*(E^y/x)+У, если у(1)=0

[latex]x\cdot y'=x \cdot e^\big{ \frac{y}{x} }+y[/latex] Убедимся, что данное дифференциальное уравнение является однородным.  То есть, воспользуемся условием однородности [latex]\lambda x\cdot y'=\lambda x \cdot e^\big{ \frac{\lambda y}{\lambda x} }+\lambda y\\ \\ \lambda x\cdot y'=\lambda(x \cdot e^\big{ \frac{\lambda y}{\lambda x} }+y)\\ \\ x\cdot y'=x \cdot e^\big{ \frac{y}{x} }+y[/latex] Итак, данное дифференциальное уравнение является однородным. Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции [latex]u=u(x)[/latex] с помощью замены:   [latex]y=ux[/latex], тогда [latex]y'=u'x+u[/latex] [latex]x\cdot (u'x+u)=x\cdot e^\big{ \frac{ux}{x} }+ux\\ \\ x\cdot (u'x+u)=x(e^u+u)\\ \\ u'x+u=e^u+u[/latex] [latex]u'x=e^u[/latex] По определению дифференциала, получаем [latex] \dfrac{du}{dx} \cdot x=e^u[/latex] - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные. [latex] \dfrac{du}{e^u} = \dfrac{dx}{x} [/latex] - уравнение с разделёнными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения [latex]\displaystyle \int\limits { \frac{du}{e^u} } \,=\int\limits { \frac{dx}{x} } \\ \\ \int\limits {e^{-u}} \, du=\int\limits { \frac{1}{x} } \, dx [/latex] [latex]-e^{-u}=\ln |x|+C[/latex] - общий интеграл новой функции. Таким образом, определив функцию [latex]u[/latex] из решения уравнения с разделяющимися переменными, чтобы записать решение исходного однородного уравнения, остаётся выполнить обратную замену: [latex]u= \dfrac{y}{x} [/latex] То есть,  [latex]-e^\big{-\frac{y}{x} }=\ln |x|+C[/latex] - общий интеграл исходного уравнения. Остаётся определить значение произвольной постоянной [latex]C[/latex]. Подставим в общий интеграл начальное условие: [latex]-e^\big{- \frac{0}{1} }=\ln |1|+C\\ C=-1[/latex] [latex]-e^\big{-\frac{y}{x} }=\ln |x|-1[/latex] - частный интеграл, также является решением данного дифференциального уравнения. Ответ: [latex]-e^\big{-\frac{y}{x} }=\ln |x|-1[/latex]