Помогите решить ,пожалуйста ) [latex](sin2x-sinx)*( \sqrt{2} + \sqrt{-2ctgx} )=0[/latex]

Вторая скобка решений не имеет, так как корень не может быть отрицательным. Поэтому он даёт нам лишь ограничение ОДЗ: [latex]-2ctgx \geq 0 \\ ctgx \leq 0 [/latex] x принадлежит второй  и четвёртой четвертям. Решаем первую скобку: [latex]sin2x = sinx \\ 2sinxcosx = sinx \\ sinx(2cosx - 1) = 0 \\ sinx = 0, cosx = \frac{1}{2} \\ 1. sinx = 0 \\ x = \pi n, n \in Z \\ 2. cosx = \frac{1}{2} \\ x = +- \frac{ \pi}{3} + 2 \pi n,n \in Z[/latex] Но помним, что x принадлежит второй и четвёртой четвертям, а [latex]x = \frac{ \pi }{3} + 2 \pi n, n \in Z[/latex] лежит в первой четверти,  поэтому он не является решением. Также, в точках [latex]x = \pi n,m \in Z[/latex] ctg(x) не существует, поэтому наш ответ: [latex]x = -\frac{ \pi}{3} + 2 \pi n, n \in Z [/latex]