Пусть N - наименьшее натуральное число, которое дает различные остатки от деления на 2,4,…,2014. Какой остаток число N дает при делении на 2014?

таким наименьшим числом может быть 7  .Оно не будет делиться без остатка на 2 , З, 4, 5, 6. При делении на 5 этого числа в остатке будет 2

Положим что наше число четное , то есть [latex]N=2x[/latex] , тогда   [latex]\frac{2x}{2}=x[/latex] то есть остаток от деления на [latex]2[/latex] равен [latex]0[/latex], для второго [latex]\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}[/latex] , и очевидно либо число делится, либо остаток равен [latex]2[/latex] , то есть запишем  все формально   [latex]N=2x+0\\ N=4y+2[/latex], так как остатки различные , а остатки при делений числа [latex]N[/latex] равны [latex]0;2[/latex] , но в первом так же равна [latex]0[/latex] , отсюда и остаток  [latex]2[/latex]. Далее  [latex]N=8z+z_{1}[/latex] , где [latex]z_{1}[/latex] остаток ,положим что он равен [latex]3[/latex] , тогда переходим к уравнению    [latex]8z+3=2x\\ z=\frac{2x-3}{8}[/latex] , но число [latex] 2x \neq 19n+8[/latex] ,  то есть такой остаток не возможен , положим что он равен [latex]4[/latex]   [latex]z=\frac{2x-4}{8}[/latex] видно что такие числа  существуют.  Теперь видим зависимость что остатки будут первым  четными числами   [latex]N=2014q+z_{2014}\\ z=2012[/latex] ответ  [latex]2012[/latex]