Решить уравнение [latex]2 \sqrt{x+2} + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x+ \sqrt{x(x+2)} } [/latex]

 [latex]x+2= a \\ -(x-2)=b \\ 2\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{b+\sqrt{ (\frac{a^2-ab}{2})}} \\ 4a+4\sqrt{ab}+b = b+\sqrt{\frac{a^2-ab}{2}} \\ 32(a+\sqrt{ab})^2 = a^2-ab \\ 32(a^2+2a\sqrt{ab}+ab ) = a^2-ab \\ \sqrt{ab}=y\\ 32(a^2+2ay+y^2) = a^2-y^2 \\ 32(a+y)^2 = (a+y)(a-y)\\ (a+y)( 32(a+y) - a+y ) = 0 \\ y=-a\\ y=\frac{-31a}{33} \\ \sqrt{(x+2)(2-x)} = -x-2 \\ [/latex]  [latex] y=-a\\ \sqrt{(x+2)(2-x ) } = -x-2 \\ x=-2 [/latex]  Для второго случая , решений , нет

x≥-2; x≤2, и x∈(-∞;-2]U[0;∞), т.е. итоговая ОДЗ: {-2}U[0;2]. Проверяем, что -2 - корень.  По неравенству для среднего геометрического и арифметического: [latex]2-x+\sqrt{x(x+2)}\le2-x+\frac{x+(x+2)}{2}=3[/latex]. Значит правая часть на интервале [0;2]  не превосходит √3, а левая часть, очевидно ≥2√2. Значит на [0;2] корней нет. Итак, ответ x=-2.