Решить уравнение: sqrt x+2=(sqrt 3-x)+1

x>=-2 x<=3 [-2;3] x+2=3-x+1+2sqrt(3-x)=4-x+2sqrt(3-x) 2x-2=2sqrt(3-x) x-1=sqrt(3-x) x^2+1-2x=3-x x^2-x-2=0 x1=-1 x2=2 ответ -1; 2

[latex]\sqrt{x+2}=\sqrt{3-x}+1[/latex] Для начала найдём ОДЗ, т.к. подкоренное выражение не может быть отрицательным, то [latex]\left \{ {{x+2\geq0} \atop {3-x\geq0} \right.[/latex] [latex]\left \{ {{x\geq-2} \atop {x\geq3} \right.[/latex] Общее решение: [-2; 3] Теперь вернемся к решению уравнения. Возведем левую и правую часть в квадрат [latex]x+2=3-x+2*\sqrt{3-x}+1[/latex] Приведем подобные слагаемые [latex]x+2=4-x+2\sqrt{3-x}[/latex] [latex]x+2-4+x=2\sqrt{3-x}[/latex] [latex]2x-2=2\sqrt{3-x}[/latex] В левой части уравнения вынесем двойку за скобку [latex]2(x-1)=2\sqrt{3-x}[/latex] Сократим левую и правую часть уравнения на 2 [latex]x-1=\sqrt{3-x}[/latex] Опять возведеем обе части уравнения в квадрат [latex]x^{2}-2x+1=3-x[/latex] Перенесем все в одну часть и приведем подобные слагаемые [latex]x^{2}-x-2=0[/latex] Решим квадратное уравнение Найдём корни по теореме Виета x1=2      x2=-1 (можно найти дискриминант, получатся эти же значения) Связуем корни с ОДЗ, оба ответа входят в промежуторк [-2;3] Ответ: 2 и -1  Если задание записано в виде:  [latex]\sqrt{x}+2=\sqrt{3-x}+1[/latex] то ОДЗ: {x>=0 {x<=3  [0;3] Перенсем двойку в правую часть [latex]\sqrt{x}=\sqrt{3-x}-1[/latex] Возведем обе части в квадрат [latex]x=3-x2\sqrt{3-x}+1[/latex] Приведем подобные слагаемые [latex]x=-x+4-2\sqrt{3-x}[/latex] Перенесем в левую часть все, кроме [latex]2\sqrt{3-x}[/latex] [latex]2x-4=2\sqrt{3-x}[/latex] В левой части вынесем двойку за кобку [latex]2(x-2)=2\sqrt{3-x}[/latex] Сокращаем на 2 [latex]x-2=\sqrt{3-x}[/latex] Возведем обе части в квадрат [latex]x^{2}-4x+4=3-x[/latex] Перенсоим все в левую часть и приводим подобные [latex]x^{2}-4x+4-3+x=0[/latex] [latex]x^{2}-3x+1=0[/latex] Решаем квадратное уравнение. Найдём дискриминант D=9-4=5 [latex]x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/latex] [latex]x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}[/latex] Согласуем корни с ОДЗ. Для этого найдем приблизительное значение корней [latex]x_{1}\approx2,6[/latex] [latex]x_{2}\approx0,4[/latex] Оба корни входят в ОДЗ, поэтому оба корня являются ответом