Синтаксический разбор: И наш человеческий долг - поздравляя друг друга с праздником всегда помнить о тех, кто пал на войне.  

Подлежащее – "долг", сказуемое – "помнить". "Наш человеческий" – определение. "Поздравляя друг друга с праздником" – обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом. "О тех" – дополнение. "Кто пал на войне" – придаточное изъяснительное ("кто" – подлежащее, "пал" – сказуемое, "на войне" – обстоятельство)