Точка D лежит внутри равностороннего треугольника PRS, причём DP=DR. Докажите, что SD - биссектриса угла RSP.

Так как DP = DR, то треугольник PDR - равнобедренный с основанием PR.  В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит углы DRP = DPR. Тогда равны углы DRS = DPS.  Теперь рассмотрим треугольники RDS и PDS.  У них RD = PD как боковые стороны равнобедренного тр-ка PDR. Углы  DRS = DPS (см. выше), сторона DS - общая. Значит тр-ки  RDS = PDS по первому признаку. Из равенства этих треугольников следует равенство углов RSD и PSD. Поскольку эти углы равны, то SD - бисектрисса угла RSP.