Точка на гипотенузе равноудалена от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки 30 и 40. Найти катеты треугольника

Пусть Н — указанная точка на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, AС,BC - катеты.   [latex]\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}[/latex] - по свойству биссектрисы [latex]AC^2 +BC^2=4900[/latex] - теорема Пифагора Составим систему уравнений [latex]\left \{ {{\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}} \atop {AC^2 +BC^2=4900}} \right\\ \left \{ {{AC=\frac{4BC}{3}} \atop {\frac{16BC^2}{9} +BC^2=4900}} \right\\ 16BC^2} +9BC^2=44100\\ BC^2 =1764 \\BC = 42[/latex]  АС = 56

Точки, равноудаленные от катетов, лежат на биссектрисе прямого угла. Биссектриса делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам. Пусть катеты равны 30 * Х и 40 * Х. Тогда по теореме Пифагора (30 * Х)² + (40 * Х)² = 900 * Х² + 1600 * Х² = 2500 * Х² = (30 + 40)² = 4900 Х² = 4900 / 2500 = 1,96 X = √ 1,96 = 1,4 Итак, катеты треугольника равны  30 * 1,4 = 42 см  и  40 * 1,4 = 56 см.