Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа....

пусть наши числа  а,в,с так как они образуют геометрическую прогрессию  то их можно записать как  a. a*q. a*q² 1) второе число увеличили на 2 а, a*q+2, a*q² и теперь это арифметическая прогрессия в арифметической прогрессии разность последовательных членов прогрессии равны, запишем это [latex]\displaystyle aq+2-a=aq^2-aq-2 2+2=aq^2-2aq+a 4=a(q^2-2a+1) 4=a(q-1)^2 [/latex] [latex]\displaystyle a= \frac{4}{(q-1)^2} [/latex] 2) третье число увеличили на 9 a. aq+2. aq²+9 получили геометрическую прогрессию отношение последовательных членов равно, запишем это [latex]\displaystyle \frac{aq+2}{a}= \frac{aq^2+9}{aq+2} [/latex] [latex]\displaystyle (aq+2)^2=a(aq^2+9) (aq)^2+4aq+4=(aq)^2+9a 4=9a-4aq 4=a(9-4q)[/latex] [latex]\displaystyle a= \frac{4}{9-4q} [/latex] из первого и второго условия мы выразили а [latex]\displaystyle \frac{4}{(q-1)^2}= \frac{4}{9-4q} (q-1)^2=9-4q q^2+2q-8=0 q_1=2; q_2=-4 [/latex] теперь все просто: найдем а [latex]\displaystyle a= \frac{4}{(q-1)^2} a_1=4; a_2= \frac{4}{25} [/latex] тогда  a=4. b=8. c=16 a=4/25. b=-16/25. c= 64/25

[latex]b_1,[/latex] [latex]b_2,[/latex] [latex]b_3[/latex] - геометрическая прогрессия [latex]b_1,[/latex] [latex]b_2+2,[/latex] [latex]b_3 [/latex] - арифметическая прогрессия [latex]b_1,[/latex] [latex]b_2+2,[/latex] [latex]b_3+9[/latex] - геометрическая прогрессия Воспользуемся свойствами арифметической и геометрической прогрессии: [latex]b_n= \frac{b_{n-1}+b_{n+1}}{2} ,[/latex]  [latex]n\ \textgreater \ 1[/latex] [latex]b_n^2=b_{n-1}*b_{n+1}[/latex] [latex] \left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {(b_2+2)^2=b_1*(b_3+9)}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {b_2^2+4b_2+4=b_1*b_3+9b_1}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {b_2^2+4b_2+4=b_2^2+9b_1}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {4b_2+4=9b_1}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {4b_2=9b_1-4}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {b_2=2.25b_1-1}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_2=2.25b_1-1 \atop {2.25b_1-1+2= \frac{b_1+b_3}{2}}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_2=2.25b_1-1 \atop {4.5b_1+2= {b_1+b_3}{}}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_2=2.25b_1-1 \atop {3.5b_1+2=b_3}{}}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_2=2.25b_1-1 \atop {b_3=3.5b_1+2}{}}} \atop {(2.25b_1-1)^2=b_1*(3.5b_1+2)}} \right. [/latex] [latex](2.25b_1-1)^2=b_1*(3.5b_1+2)[/latex] [latex]5.0625b_1^2+1-4.5b_1=3.5b_1^2+2b_1[/latex] [latex]5.0625b_1^2+1-4.5b_1-3.5b_1^2-2b_1=0[/latex] [latex]1.5625b_1^21-6.5b_1+1=0[/latex] [latex]6.25b_1^21-26b_1+4=0[/latex] [latex]D=26^2-4*6.25*4=576=24^2[/latex] [latex]b_1= \frac{26+24}{12.5}=4 [/latex] [latex]b'_1= \frac{26-24}{12.5}=0.16 [/latex] [latex]b_1=4,[/latex]   [latex]b_2=2.25*4-1=8,[/latex]  [latex]b_3=3.5*4+2=16[/latex] [latex]b'_1=0.16,[/latex]  [latex]b'_2=2.25*0.16-1=-0.64,[/latex] [latex]b'_3=3.5*0.16+2=2.56[/latex]