В окружность с радиусом А вписан квадрат, а в квадрат вписана окружность и так далее. Найдите сумму площадей всех квадратов.

Это бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателе равны [latex]q= \frac{1}{2}[/latex] , потому что по формуле  пусть сторона квадрата  равна [latex]t[/latex] тогда выразим сторону квадрата через радиус  [latex]A=\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ t=\sqrt{2}A[/latex] теперь следующий квадрат будет меньше , выразим сторону опять так же  [latex]r=\frac{\sqrt{2}A}{2}=R=\frac{\sqrt{2}t_{1}}{2}\\ t_{1}=A[/latex] итд получим что они будут отличаться друг от друга на 0,5 тогда  по формуле, сумма квадратов равна    [latex] S=\frac{2A^2}{1-0.5 }=4A^2[/latex]