В правильном треугольнике со стороной, равной а, вписана окружность, к которой проведена касательная, параллельная основанию. Этой касательной отсекается опять правильный треугольник, в который вписана окружность и так до беско...

Как известно, в правильном треугольнике высота равна h=a√3/2, а радиус вписанной окружности r = h/3 = а√3/6. На втором шаге, после отсечения, новый треугольник будет иметь высоту h(2) = h-2a = a√3/2 -2а√3/6 =  a√3/6 = (a√3/2)/3 = h/3. Интересно отметить, что новая высота в 3 раза меньше исходной и равна радиусу вписанной окружности в исходный треугольник, а радиус новой вписанной окружности r(2) = h(2)/3 = (a√3/6)/3 = r/3 - тоже в 3 раза меньше исходного радиуса вписанной окружности. В дальнейшем, в результате последовательности отсечений, стороны, высоты и радиусы вписанных окружностей создадут геометрические последовательности со знаменателем прогрессии 1/3. На n-ом шаге радиус вписанной окружности r(n) = r/3^(n-1) = (a√3/6)/3^(n-1) = a√3/(2*3^n), где знак ^ означает возведение в степень.  Это исправленное решение с учетом моих комментариев от 06.01.17.