В прямоугольнике A B C D стороны A B = 21, A D = 20. Биссектриса угла A B D пересекает прямую C D в точке E, а биссектриса угла A D B пересекает прямую B C в точке F. Найдите квадрат длины отрезка E F.

AD || FC => ∠ADF = ∠DFB - как накрест лежащие  ∠ADF = ∠FDB  Значит, ∠DFB = ∠BDF ⇒ ∆FBD - равнобедренный. Тогда FB = BD. По теореме Пифагора: [latex]BD = \sqrt{BC ^{2} + AB ^{2} } = \sqrt{20 ^{2} + 21 ^{2} } = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29.[/latex] AB||EC => ∠ABE = ∠DEB - как накрест лежащие. ∠ABE = ∠DBE Значит, ∠DBE = ∠DEB => ∆DEB - равнобедренный. Тогда DE = DB = 29. FC = FB + BC = 29 + 21 = 50. EC = ED + DC = 29 + 20 = 49. По теореме Пифагора: [latex] FE ^{2} = FC ^{2} + EC ^{2} = 50^{2}+ 49^{2} = 2500 + 2401 = 4901.[/latex] Ответ: 4901.