В прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотинузой c вписана окружность радиуса r.Докажите,что r= a+b-c/2

Дано: ABC-треугольник угол ABC=90° O;R; тр. док-ть что : r =(a+b-c)/2 Решение: Построим три радиуса перпендикулярные сторонам треугольника, получи шесть треугольников. видим общие гипоиенузы, и из теоремы пифогоры с²=а²+b², составим уравнение, где х-кусок гипотенузы, отсекаемый радиусом: Получим систему (b-r)²+r²=(c-x)²+r² (a-r)²+r ²=x²+r² отсюда следует b-r=c-x a-r=x b-r=c-a+r 2r=a+b-c r =(a+b-c)/2 Что и требовалось доказать.

радиус окружности вписанный в любой треугольник находится по формуле: [latex]r= \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } , p= \frac{a+b+c}{2} [/latex] по формуле Герона, радиус можно выразить через площадь [latex]r= \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} }= \frac{\sqrt{ p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p }= \frac{S}{p}= \frac{2ab}{2(a+b+c)} = \\ =\frac{2ab+a^2+b^2-a^2-b^2}{2(a+b+c)}=\frac{(a+b)^2-c^2}{2(a+b+c)}=\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2(a+b+c)}=\frac{a+b-c}{2}[/latex]