В равнобедренном треугольнике основание равно 24 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Проведем высоту к основанию. Она будет являться и медианой. По теореме Пифагора высота h равна: h² = 13² -(1/2•24)² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25. h = √25 = 5 см. Площадь треугольника равна S = 1/2ha. В данном случае a - это основание. S = 1/2•5•24 см² = 60 см². Радиус вписанной окружности в треугольник находится по формуле: r = S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр. p = (24 + 13 + 13)/2 = 25 см. r = 60 см²/25см = 2,4 см. Радиус описанной около треугольника окружности находится по формуле: R = abc/4S, где a, b и c - стороны треугольника R = 24•13•13 см/4•60 = 16,9 см Расстояние d между центрами вписанной окружности и описанной около треугольника находятся по формуле Эйлера: d² = R² - 2Rr d = √R(R - 2r) = √16,9(16,9 - 2•2,4) = √16,9•12,1 = √204,49 = 14,3.