В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Найти расстояния от точки пересечения высот треугольника до его вершин.

Нарисуем равнобедренный треугольник АВС.  Высоты треугольника пересекаются в одной точке (см. теорему).  В равнобедренном треугольнике расстояние от вершин основания до точки пересечения высот равно, поэтому для решения достаточно двух высот.  Проведем 2 высоты треугольника АВС: одну к основанию -ВМ, вторую к боковой стороне - АМ  Точку пересечения высот обозначим О.  Рассмотрим треугольники АВН и АНС.  АН - общий катет  этих прямоугольных треугольников.  Сторона ВС делится высотой на отрезки ВН=х и НС=5-х  Составим по формуле Пифагора выражение для высоты АН из этих двух треугольников и приравняем их.  АН²= АВ²-ВН²  АН²=АС²-(5-х)²  5²-х²=6²-(5-х)²  25-х²=36-25+10х-х²  10х=50-3610х=14х=1,4 Из тр-ка АНС найдем НС  НС=5-1,4=3,6 Чтобы найти АО, нужно знать длину АН  АН²=АС²-СН²=36-12,96  АН=4,8 Треугольники ВОН и АОМ подобны - в них равны острые вертикальные углы.  Для прямоугольного треугольника этого достаточно, так как остальные 2 угла тоже равны.  По этой же причине подобны АНС и ВОН ( равны углы НАС и ОВН в прямоугольных треугольниках)  ВН:АН=ВО:АС  1,4:4,8=ВО:6  4,8 ВО=8,4 ВО=1,75 ОН²=1,75²-1,4²  ОН²=3,0625-1,96  ОН=1,05  АО=АН-ОН  АО=4,8-1,05=3,75 см Ответ: Расстояние от вершины В до точки пересечения высот равно 1,75 см  От вершин А и С оно одинаково (треугольник равнобедренный) и равно3,75 см