В равнобедренном треугоьнике боковая сторона относится к основанию как 5:3. В каком отношении делит высоту треугольника,проведенную к его основанию,биссектриса угла при основании?

Пусть k - коэффициент пропорциональности, тогда AB = BC = 5k, AC = 3k. Опустим высоту BH. [latex]BH = \sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{(5k)^{2}-(\frac{3k}{2})^{2}}=\frac{k\sqrt{91}}{2}[/latex]. BH - высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, значит, является и биссектрисой. AP - биссектриса (по условию). O - точка пересечения биссектрис BH и AP, значит, OH ([latex]OH \perp AC[/latex]) и OT ([latex]OT \perp AB[/latex]) - радиусы вписанной в треугольник окружности. Найдем радиус [latex]r= \frac{2S}{a+b+c}[/latex]. [latex]p= \frac{5k+5k+3k}{2}=\frac{13k}{2}[/latex] [latex]S_{ABC}= \sqrt{\frac{13k}{2}*(\frac{13k}{2}-5k)^{2}*(\frac{13k}{2}-3k)}=\frac{3k^{2}\sqrt{91}}{4}[/latex] [latex]r=OH=OT=\frac{2*3k^{2}\sqrt{91}}{4*(5k+5k+35)}=\frac{3k\sqrt{91}}{26}[/latex] [latex]BO = BH - OH = \frac{k\sqrt{91}}{2}-\frac{3k\sqrt{91}}{26}=\frac{5k\sqrt{91}}{13}[/latex] [latex]\frac{BO}{OH}= \frac{5k\sqrt{91}*26}{13*3k\sqrt{91}}=\frac{10}{3}[/latex] Ответ: [latex]\frac{10}{3}[/latex].