В шар вписан тетраэдр с ребром равным 1 см. Определите объём шара.

Радиус окружности, в которую вписано основание тетраэдра находим из прямоугольного треугольника, где гипотенуза - искомый радиус, а катет - половина ребра. Угол между ними 30°. r = (1/2) / cos 30° = (1*2) / (2*√3) = 1 / √3. Высоту тетраэдра находим по Пифагору: H = √(1² - (1/√3)²) = √(2/3). Теперь рассмотрим осевое сечение шара, проходящее через ребро тетраэдра.  Высота в прямоугольном треугольнике (она же радиус r), проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных. Из подобия запишем пропорцию: H/1 = 1/D. Отсюда D = 1/H = 1 / (√(2/3)) = √(3/2). Объём шара равен V = (1/6)π*D³ = (1/6)π*(3/2)*(√(3/2) = 0,96191.