В тетраэдре ABCD ребро AD имеет длину 4, а все остальные ребра равны 6. а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикуляры. б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую ВС и перпендикулярной прямой AD.

a) Тетраэдр - четырёхгранник, гранями которого являются четыре треугольника, треугольная пирамида. Одинаковые ребра имеют одинаковые проекции на плоскость основания. Поэтому вершина тетраэдра проецируется в центр описанной около основания окружности.  Пусть в  нашем случае основанием будет грань АСD .  Тогда вершина В спроецируется в центр этого треугольника и проекция ребра ВС будет лежать на прямой СН, проходящей через центр описанной вокруг треугольника АСD окружности и  являющейся высотой этого треугольника. ВС и АD - скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проведем прямую параллельную ребру АD через точку С и тогда получим, что ВС перпендикулярна этой прямой, так как если проекция наклонной перпендикулярна прямой, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Таким образом, доказано, что ВС перпендикулярна АD. б) Площадь сечения, содержащего прямую ВС и перпендикулярного прямой АD - это площадь треугольника СВН. Оно равно S=(1/2)*ВО*СН. По Пифагору СН=√(СD²-НD²) или СН=√(36-4) =4√2. ВН=√(ВD²-НD²)=4√2. СН=ВН. Пусть СО=х, тогда ВО²=ВН²-(НС-х)²  и ВО²=ВС²-х².  Значит ВН²-(НС-х)²=ВС²-х², или 32-32+8√2*х-х²=36-х² отсюда 8√2*х=36 х=9√2/4.  ВО=√(36-81/8)=√207/2√2. S=(1/2)*(√207/2√2)*4√2=√207=3√23. Это ответ. Или так: В равнобедренном треугольнике СВН высота НР: НР=√(ВН²-(ВС/2)²) или НР=√(32-9) =√23. Тогда Scbh=(1/2)*BC*НР или Scbh=(1/2)*6*√23. Ответ: Scbh=3√23.