В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 5 и 2. Окружность, описанная около треугольника ABC, касается основания AD и боковой стороны CD. Найти радиус окружности.

Пусть О - центр окружности. Т.к. касательная пересекается с окружностью только в одной точке, то А и С - точки касания. Отсюда AD=DC=5 как отрезки касательных из одной точки. Кроме того, прямая АО, которая пересекает BC в точке F перпендикулярна AD. Значит OF  - высота равнобедренного треугольника BCO, ведь BC||AD. Отсюда F - середина BC. т.е. FC=1. Значит cos∠D=(AD-FC)/DC=(5-1)/5=4/5. Отсюда OC=DC*tg(∠D/2)=DC*√((1-cos∠D)/(1+cos∠D))=5√((1-4/5)/(1+4/5))=5/3.

[latex]ABCD-[/latex] трапеция [latex]w(O;R)[/latex] - описана около Δ [latex]ABC[/latex] [latex]A[/latex] и [latex]C-[/latex] точки касания [latex]AD=5[/latex] [latex]BC=2[/latex] [latex]R-[/latex] ? Воспользуемся теоремой о свойстве касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности,проведенному в точку касания. [latex]OC[/latex] ⊥ [latex]CD[/latex] [latex]AO[/latex] ⊥ [latex]AD[/latex] Δ [latex]OAD[/latex] и Δ [latex]OCD-[/latex] прямоугольные [latex]OC=OA[/latex] ( как радиусы) [latex]OD-[/latex] общая Δ [latex]OCD=[/latex] Δ [latex]OAD[/latex] (по гипотенузе и острому углу) Значит [latex]CD=AD=5[/latex] Пусть [latex]\ \textless \ CDA= \alpha,[/latex]  тогда [latex]\ \textless \ AOC=180к- \alpha [/latex] Из Δ [latex]AOC:[/latex] [latex]AO=OC=R[/latex] по теореме косинусов: [latex]AC^2=AO^2+OC^2-2*AO*OC*cos\ \textless \ AOC[/latex] [latex]AC^2=R^2+R^2-2*R*R*cos(180к- \alpha )[/latex] [latex]AC^2=R^2+R^2-2R^2*cos(180к- \alpha )[/latex] [latex]AC^2=2R^2+2R^2*cos \alpha [/latex] с другой стороны из Δ [latex]ACD:[/latex] [latex]AC^2=CD^2+AD^2-2*CD*AD*cos \ \textless \ ADC[/latex] [latex]AC^2=5^2+5^2-2*5*5*cos \alpha [/latex] [latex]AC^2=25+25-50*cos \alpha [/latex] [latex]AC^2=50-50*cos\alpha[/latex] [latex]2R^2+2R^2*cos \alpha=50-50*cos \alpha[/latex] [latex]2R^2(1+cos \alpha )=50(1-cos \alpha )[/latex] [latex]R^2(1+cos \alpha )=25(1-cos \alpha )[/latex] [latex]R^2=\frac{25*(1-cos \alpha) }{1+cos \alpha} [/latex] [latex]R= \sqrt{\frac{25*(1-cos \alpha) }{1+cos \alpha} } [/latex]  (1) [latex]BC[/latex] ║ [latex]AD[/latex] [latex]AO[/latex] ⊥ [latex]AD[/latex] [latex]AO[/latex] ∩ [latex]BC=M[/latex] ⇒ [latex]OM[/latex] ⊥ [latex]BC[/latex] Из C опустим перпендикуляр на сторону AD, т.е. [latex]CF[/latex] ⊥ [latex]AD[/latex] [latex]AMCF-[/latex] прямоугольник [latex]AF=MC=1[/latex] Δ [latex]BOC-[/latex] равнобедренный, значит [latex]BM=MC=1[/latex] [latex]AD=AF+FD[/latex] [latex]FD=AD-AF=5-1=4[/latex] Δ [latex]CFD-[/latex] прямоугольный [latex]cos\ \textless \ CDF= \frac{FD}{CD} [/latex] [latex]cos \alpha = \frac{4}{5} [/latex]  подставим в (1) и получим ответ: [latex]R= \sqrt{\frac{25*(1- \frac{4}{5} ) }{1+ \frac{4}{5} }}=5* \sqrt{ \frac{1}{5} * \frac{5}{9} }=5* \frac{1}{3} = \frac{5}{3} [/latex] Ответ: [latex] \frac{5}{3} [/latex] рисунок  в приложении