В трапеции АВСD отрезки АВ и СD являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКD, если АВ = 27 см, СD = 18 см, АD = 3 см, ВС = 6 корень из 2 см.

Проведём ВМ║АD. Четырехугольник АВМD- параллелограмм ( стороны попарно параллельны)  DM=AB=18 см В ∆ ВМС ∠ВМС=∠АDМ.  МС=DC-DM=27-18=9 По т.косинусов  -cos угла ВМС=[ВС*- (ВМ*+МС*)]/2BM•BC⇒ cos ∠BMC=18/54=1/3 Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.  S ABMD= AD•DM•sin ADM sin2 α + cos2 α = 1⇒   sin ∠ADM=√(1-1/9)=√8/3=2√2/3 S ABMD=18•3•2√2•3=36√2 см² S∆ ABD=SABMD/2=18√2 В трапеции треугольники, образованные при пересечении диагоналей, подобны. k=DC/АВ=27/18=3/2 Тогда DB=DK+KB=5 частей  АН- общая высота треугольников АКD и АDВ . Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.  S ∆ ADK=3/5 S∆ADB=3•18√2/5=54√2/5=10,8√2 см²------Примечание. Это один из вариантов решения этой задачи.  Другой дан мной 6.03 этого года.