В трапеции расстояние между серединами оснований равно полуразности длин оснований. Найти сумму углов при большем основании.

Если соединить середины диагоналей трапеции, то получится отрезок, длина которого равна полуразности оснований. Если соединить середину основания (любого) с серединой диагонали, то получится отрезок, параллельный боковой стороне (можно указать треугольник, в котором это - средняя линия). В данном случае есть четыре таких отрезка, и они попарно параллельны боковым сторонам, а значит, образуют параллелограмм.  Из условия следует, что в этом параллелограмме диагонали равны, то есть это - прямоугольник.  Далее, ясно, что отрезки, "выходящие" из середины большего основания образуют с ним углы, равные углам при основании трапеции, поскольку каждый из них параллелен одной из боковых сторон.  То есть получилось, что два угла при основании трапеции вместе с углом прямоугольника образуют развернутый угол.  То есть искомая сумма равна 90°