В треугольнике ABC проведены биссектриса AP и медиана BM пресекаются в точке K. Отношение стороны AC к AB = 5/8. Найти отношение площади треугольника ABK к площади треугольника BKP.

Проведем из вершины [latex]C[/latex] , отрезок    [latex]CL[/latex] и так что бы он проходил через точку   [latex] K[/latex].   По теореме Чевы    [latex]\frac{CM}{MA}*\frac{AL}{LB} * \frac{BP}{PC}=1\\ [/latex]  так как  [latex]AP[/latex] биссектриса , а по свойству  [latex] \frac{AC}{AB}=\frac{PC}{BP}=\frac{5}{8}[/latex].  Так как [latex]BM[/latex] медиана , то      [latex]\frac{CM}{MA}=1[/latex]   [latex]\frac{AL}{LB}=\frac{5}{8}[/latex]   По теореме  Ван Обеля    [latex] \frac{AK}{KP}=\frac{AM}{MC}+\frac{AL}{LB}\\ \frac{AK}{KP}=\frac{13}{8}\\ [/latex]     Пусть угол  [latex]BAP=a[/latex]   [latex]S_{BAP}=\frac{AB*AP*sina}{2}\\ S_{ABK}=\frac{AB*\frac{13}{21}AP*sina}{2}\\ S_{BKP}=S_{BAP}-S_{ABK} = \frac{\frac{8AB*AP*sina}{21}}{2}\\\\ \frac{S_{ABK}}{S_{BKP}}=\frac{13}{8}[/latex]            Ответ [latex]\frac{13}{8}[/latex]