В треугольнике abc вписана окружность и еще 3 окружности радиусов r1,r2,r3 так что они попарно касаются сторон треугольника и данной окружности найти ее радиус

Для начало обозначим вершины треугольника как [latex]A,B,C[/latex] .  Обозначим центр большей и меньших треугольников соответственно [latex]O,O_{1};O_{2};O_{3}[/latex] . так же радиусы [latex]R;R_{1};R_{2};R_{3}[/latex].  Опустим три радиуса из вписанной окружности на все стороны , как известно радиус перпендикулярен касательной.   Обозначим проекций радиуса на сторону [latex]AC-> B_{1}\\ BC-> A_{1}\\ AB->C_{1}[/latex].   Из этого следует что отрезки  [latex]AC_{1}=AB_{1}\\ BC_{1}=BA_{1}\\ CA_{1}=CB_{1} [/latex]   Потому что отрезки касательных проведенные к окружности с одной точки равны .  Проведем биссектрисы из каждой вершины , они будут пересекаться в одной точке и это точка [latex]O[/latex].  Обозначим проекций маленьких окружностей на стороны [latex]J,T,N[/latex].  Тогда очевидно мы получим трапецию у которой основания есть радиусы соответственных окружностей, всего трапеций 3.  То есть трапеций [latex]OO_{1}JA_{1}\\ OO_{2}TA_{1}\\ OO_{3}NB_{1}[/latex] . Из каждой трапеций можно выразит по тереме Пифагора боковую сторону прямоугольной трапеций .  Они будут равны [latex]\sqrt{(R_{1}+R)^2-(R-R_{1})^2}=2\sqrt{RR_{1}}\\ \sqrt{(R_{2}+R)^2-(R-R_{2})^2}=2\sqrt{RR_{2}}\\ \sqrt{(R_{3}+R)^2-(R-R_{3})^2}=2\sqrt{RR_{3}}\\[/latex]  Заметим так же что треугольники  [latex]CO_{1}J\\ BO_{2}T\\ AO_{3}N [/latex] будут подобны , большим прямоугольным треугольникам .  Откуда из подобия получим     [latex] \frac{CJ}{CJ+2\sqrt{RR_{1}}}=\frac{R_{1}}{R}\\ CJR=R_{1}CJ+2R_{1}\sqrt{RR_{1}}\\ CJ=\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}[/latex]  И так все стороны.  Достаточно найти эти три отрезка и просуммировать , так как  отрезки касательных равны. В итоге получим   [latex]BC=2\sqrt{RR_{1}}+\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}+2\sqrt{RR_{2}}+\frac{2R_{2}*\sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}} [/latex] [latex]AC=2\sqrt{RR_{1}}+\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}} + 2\sqrt{RR_{3}}+\frac{2R_{3}\sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}} [/latex]  [latex]AB=2\sqrt{RR_{2}}+\frac{2R_{2}\sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}} + 2\sqrt{RR_{3}}+\frac{2R_{3}\sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}} [/latex] Теперь зная  стороны , по формуле  [latex]S=pr\\r=\frac{S}{p}[/latex] Я там все упростил и доделал , весьма сложные преобразований вышло но в итоге ответ такой вышел [latex] R=\sqrt{R_{1}R_{2}}+\sqrt{R_{2}R_{3}}+\sqrt{R_{1}R_{3}}[/latex]