В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец три из них восстановленные. Определите вероятность того, что среди взятых наугад четырёх колец два окажутся восстановленными ?

Разложим все кольца на столе в ряд. Пусть первые [latex] 7 [/latex] – новые, а последние [latex] 3 [/latex] – восстановленные. Рассмотрим неупорядоченные выборки. Т.е., например, если мы берём набор колец (по порядку на столе) [latex] 1358 [/latex] и, скажем: [latex] 8315 [/latex] – то такие выборки при анализе мы различать не будем. Ну и правда – это ведь один и тот же набор. Переставить четыре разных элемента можно 24 способами, т.е. [latex] 1358 , 1385 , 1538 , 1583 , 1835 [/latex] и т.п. Вообще, если задуматься (или прочитать в учебнике :–), то легко понять, что число таких перестановок, это [latex] 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 , [/latex] что иначе называется [latex] 4 ! = 24 . [/latex] Аналогично можно показать, что число перестановок для трёх элементов – это [latex] 3 ! = 6 . [/latex] В самом деле, ведь, например, комбинацию [latex] 138 [/latex] можно переставить 6-ью способами [latex] 138 , 183 , 318 , 381 , 813 [/latex] и [latex] 831 . [/latex] Аналогично число перестановок для двух элементов составляет [latex] 2 ! = 2 , [/latex], в самом деле, ведь, например, комбинацию [latex] 18 [/latex] можно переставить только 2-мя способами [latex] 18 [/latex] и [latex] 81 . [/latex] Теперь подумаем, сколькими способами можно вообще выбрать из [latex] 10 [/latex] колец какие-то [latex] 4 ? [/latex] Первое можно выбрать, как одно из 10-ти, второе – как одно из оставшихся 9-ти, третье, как одно из оставшихся 8-ми, и четвёртое, как одно оставшееся из 7, всего: [latex] 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 [/latex] вариантов. При этом как мы говорили выше, выборки [latex] 1358 , 1385 , 1538 , 1583 , 1835 [/latex] и т.п. (всего 24 штуки) ничем не отличаются, значит, общее число неупорядоченных выборок 4 элементов из 10 будет [latex] 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 / 24 = 10 \cdot 9 \cdot 7 / 3 = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210 . [/latex] [0] А теперь выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 4 новых? Да просто не будем брать восстановленные, а будем брать всё из первых семи. Тогда общее число таких выборок составит [latex] 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 [/latex] вариантов. И поскольку в каждом таком варианте можно 24 способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 24 раза меньше, а именно: [latex] 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 / 24 = 7 \cdot 5 = 35 . [/latex] Вероятность достать только новые кольца найдём, как отношение неупорядоченных выборок новых колец ко всем возможным выборкам, т.е. : [latex] P_o = 35/210 = 5/30 = \frac{1}{6} \approx 16.67 \% . [/latex] [I] Выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 3 новых, и только – одно восстановленное? Выбреем три восстановленных из первых семи. Это можно сделать [latex] 7 \cdot 6 \cdot 5 [/latex] способами. И поскольку в каждом таком варианте можно 6-тью способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 6 раза меньше, а именно: [latex] 7 \cdot 6 \cdot 5 / 6 = 7 \cdot 5 = 35 . [/latex] Кроме того таких возможностей будет втрое больше из-за того, что ко всякой выборке трёх новых колец можно добавить одно из трёх (!) восстановленных. Значит, общее число способов достать одно восстановленное и три новых составляет [latex] 105 . [/latex] Вероятность достать ровно три новых кольца и одно восстановленное найдём, как отношение таких неупорядоченных выборок ко всем возможным выборкам, т.е. : [latex] P_I = 105/210 = \frac{1}{2} = 50 \% . [/latex] [III] Выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались ровно 3 восстановленных и только одно новое? Три восстановленных можно выбрать только одним способом (!) – просто взять их все :–). Кроме того таких возможностей будет в семь раз больше из-за того, что ко взятым восстановленным кольцам можно добавить одно из семи (!) новых. Значит общее число способов достать одно новое и три восстановленных составляет [latex] 7 [/latex] вариантов. Вероятность достать ровно три восстановленных кольца и одно новое найдём, как отношение таких неупорядоченных выборок ко всем возможным выборкам, т.е. : [latex] P_{III} = 7/210 = \frac{1}{30} \approx 3.33 \% . [/latex] [IV] Очевидно, что достать четыре восстановленных кольца – невозможно, поэтому: вероятность достать ровно четыре восстановленных кольца равно нулю. [latex] P_{IV} = 0 . [/latex] [II] Всего существует [latex] 100 \% [/latex] сделать какие бы то ни было выборки, значит вероятность выбрать ровно два восстановленных и ровно два новых кольца вычисляется как разность: [latex] P_{II} = 1 - ( P_o + P_I + P_{III} + P_{IV} ) = 1 - ( \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{30} + 0 ) = 1 - ( \frac{5}{30} + \frac{15}{30} + \frac{1}{30} ) = [/latex] [latex] = 1 - \frac{5+15+1}{30} = 1 - \frac{21}{30} = 1 - \frac{7}{10} = 1 - 0.7 = 0.3 = 30 \% [/latex] А теперь можно ответить на поставленный в задаче вопрос. Но (!) его следует уточнить. !!!! Ответы смотрите во вложенном изображении !!! (сервис ограничивает 5000 символов, не влезло)