Верно ли, что любое положительное рациональное число можно представить как отношение произведения факториалов (не обязательно разных) простых чисел? Например [latex] \frac{10}{9}= \frac{2!*5!}{3!*3!*3!} [/latex]

Верно. Покажем, что любое натуральное число N можно представить в указанном виде (а значит, и отношение натуральных чисел будет представимо в таком виде). Если N = 1, можно написать, например, N = 2! / 2! По основной теореме арифметики любое натуральное число, большее 1, однозначно (с точностью до порядка сомножителей) представимо в виде произведения простых множителей: [latex]N=p_{\alpha_1}^{\beta_1}p_{\alpha_2}^{\beta_2}\dots p_{\alpha_k}^{\beta_k}[/latex] (alpha - номер простого числа; все простые числа расположены в порядке возрастания) Докажем требуемое утверждение индукцией по alpha_k. База: Для alpha_k = 1 утверждение очевидно: первое простое число совпадает со своим факториалом: 2 = 2! Переход. Пусть для всех alpha_k < m утверждение задачи выполнено. Пусть N = Q * p^l, причем номер p равен m и Q не делится на p. 1) Q по предположению представимо в нужном виде. 2) Заметим, что p = p! / (p-1)!. (p-1)! не содержит простых чисел с номерами, не меньших m, так что по предположению индукции представимо в виде дроби нужного вида. Тогда и p!/(p-1)! представимо в нужном виде. 3) Остается перемножить дробь для Q и l дробей для p. Переход доказан.