Внутри угла acb=60 градусов взята точка M.  Известно, что AC=BC, AM =корень из 2, BM =2, угол AMC =15 градусов. Найдите CM.

Так как не сказано что он лежит в треугольнике АВС . Треугольник АВС равносторонний так как угол С равен 60 гр, а стороны равны, тогда углы при оснований тоже равны по 60гр.  Найдем углы ВАМ и МВА.  Выведем такие соотношения, для  начало я обозначу стороны треугольников как х, а углы ВАМ и МВА [latex] \alpha \ \beta [/latex] . Тогда  [latex]\frac{2}{sin \alpha }=\frac{\sqrt{2}}{sin \beta }\\ [/latex] С одной стороны сторона СМ равна  [latex]CM^2=x^2+2-2\sqrt{2}xcos(60+a) [/latex] с другой стороны  [latex]CM^2=x^2+4-4xcos(60+ \beta ) [/latex]  и по теореме косинусов сторона х равна  [latex]x=\sqrt{6-4\sqrt{2}*cos(a+b)}[/latex] теперь перед началом всех преобразований , сделаем предварительные вычисления  [latex]cos(60+a)=0.5cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin \alpha \\ cos(60+b)=0.5cos \beta -\frac{\sqrt{3}}{2}sin \beta \\ cos(a+b)=cos \alpha *cos \beta -sin \alpha *sin \beta [/latex] Теперь для простоты сделаем замену , еще одну  [latex]sinb=z [/latex] тогда другие стороны равны  [latex]cosb=\sqrt{1-z^2}\\ sina=\frac{2z}{\sqrt{2}}\\ cosa=\sqrt{1-\frac{4z^2}{2}}[/latex] Тогда сторона х запишется как  [latex] x=\sqrt{6-4\sqrt{2}*(\sqrt{1-\frac{4z^2}{2}}*\sqrt{1-z^2}-\frac{2z}{\sqrt{2}}*z)} [/latex] Теперь все это подставим в уравнение где СМ, решим данное уравнение , получим что  [latex]z= \frac{\sqrt{2}}{2}[/latex] то есть  [latex] \beta =45\\ \alpha =90[/latex] тогда СМ равна [latex]\sqrt{x^2+2-2\sqrt{2}*x*cos150}\\ x=\sqrt{6-4\sqrt{2}*cos135}=\sqrt{2}\\ CM=\sqrt{2+2+2\sqrt{2}*\sqrt{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{4+2\sqrt{3}}[/latex]