Зачем нужен интеграл? примеры применения интеграла в физике и геометрии.  

Хм... школьная программа? Тогда в геометрии - вычисление площади фигуры под графиком. Допустим, если функция задана кривой линией. В физике - да там все через интеграл считается... Нахождение магнитного потока по напряженности, количества теплоты при известном токе и сопротивлении, магнитной индукции 

Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени. Применение интеграла в физике: Работа А переменной силы. S – (путь) перемещения. Вычисление массы. Вычисление момента инерции линии, круга, цилиндра. Вычисление координаты центра тяжести. Количество теплоты и т.д.  Применение интеграла в геометрии: Вычисления Sфигур. Длина дуги кривой. Vтела на S параллельных сечений. V тела вращения и т.д.