Дипломная работа: Численное решение уравнения Шредингера средствами Java

H

можно получить из (1.3) формальным преобразованием

,

Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования

, (1.4)

если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.

Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при волновой функцией

,

описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.

Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство

,(1.5)

указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию *, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим

,(1.6)

Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора , получаем (1.5).

Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)

, (1.7)

где является плотностью вероятности, а вектор

(1.8)

можно назвать вектором плотности тока вероятности.

Комплексную волновую функцию всегда можно представить в виде

где и — действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности

,

а плотность тока вероятности

.(1.9)

Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций , у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций .

Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции состояние системы можно описать двумя вещественными функциями и , удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н — вещественный, то, подставив в (1.1) функцию и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений

, ,

при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид