Дипломная работа: Численное решение уравнения Шредингера средствами Java

(3.7)

Из уравнения (3.1) имеем

(3.8)

Подставив (3.7) в (3.8) и перегруппировав члены, получаем

(3.9)

Разрешив (3.9) относительно или , найдем рекуррентные формулы для интегрирования уравнения (3.1) вперед или назад по c локальной погрешностью . Отметим, что погрешность данного метода оказывается на порядок выше, чем погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Кроме того данный алгоритм более эффективен, потому что значение функции вычисляются только в узлах сетки. Для нахождения численного решения оказывается удобным провести обезразмеривание уравнения (3.1), используя в качестве единиц измерения расстояния - ширину потенциальной ямы, в качестве единиц измерения энергии - модуль минимального значения потенциала . В выбранных единицах измерения уравнение (3.1) имеет вид

(3.10)

где

(3.11)

Таким образом, вычислительный алгоритм для нахождения собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера реализуется следующей последовательностью действий:

1. Задать выражение, описывающее безразмерный потенциал .

2. Задать значение .

3. Задать пространственную сетку, на которой проводится интегрирование уравнения (3.1).

4. Задать , .

5. Задать начальное значение энергии .

6. Задать конечное значение энергии .

7. Задать шаг изменения энергии .

8. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке .

9. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке .

10. Вычислить значения переменной для значения энергии .

11. Увеличить текущее значение энергии на : .

12. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке .

13. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке .

14. Вычислить значения переменной для значения энергии .

15. Сравнить знаки ,

16. Если и , увеличить текущее значение энергии на и повторить действия, описанные в пп. 8-17.

17. Если , уточнить методом линейной интерполяции.

18. Если , повторить действия, описанные в пп. 8-18.

19. Если , закончить вычисления.[5]