Дипломная работа: Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем

Под гидравлической системой понимается совокупность участков труб произвольной трубопроводной системы и гидротехнических сооружений.

Движение жидкости в гидравлических системах описывается системой уравнений в частных производных гиперболического типа, причем область определения этих уравнений связана с ориентированным графом, отрезки (ребра) и вершины которого можно трактовать как различные элементы гидравлических систем.

Модель гидравлической системы представляется в виде композиции двух моделей: модели узла с сосредоточенными параметрами (т.е. все параметры функциями только времени), связываемой с вершинами графа. Модели трубы с распределенными параметрами (т.е. часть параметров являются функциями времени и пространственной координаты), связываемой с отрезками графа.

Для сопряжения этих двух моделей формулируются условия примыкания, выражающие связь между неизвестными на конце отрезка и параметрами в вершине, и балансовые соотношения, являющиеся функциональными связями между параметрами в вершине и неизвестными одновременно на всех отрезках, примыкающих к этой вершине.

Постановка задачи

Уравнения, описывающие изотермические движение жидкости в трубах имеют вид [1,4]:

Здесь x-пространственная координата, t-время, ρ- плотность жидкости, g-ускорение силы тяжести, α-угол между осью канала и вектором силы тяжести. Последнее слагаемое во 2ом уравнение системы учитывает потери на трение жидкости о стенки канала, D-диаметр канала, λ-коэффициент трения.

Полагаем, что трение отсутствует, трубопровод горизонтальный, течение дозвуковое и жидкость слабо сжимаемая. Тогда исходная система перепишется в виде:

где - скорость звука в жидкости.

Запишем систему в векторном виде:

Решая характеристическое уравнение:

находим собственные значения и характеристические направления нашей системы:

Заметим, что характеристики являются прямыми линиями, и их уравнения имеют вид: .

Также допускается запись системы (1), (2) в характеристической форме:

Определим инварианты Римана в виде:

Учитывая (3) и (4), запишем систему уравнений гидроудара через инварианты: