Дипломная работа: Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем

Система (1), (2) является гиперболической. Известно, что число граничных и начальных условий, задаваемых на границе области, равно числу характеристик, приходящих в область через эту границу, поэтому при необходимо задавать два начальных условия:

При и необходимо задавать по одному граничному условию, например:

Для расчетов удобно систему уравнений (1), (2) представить в безразмерном виде. Пусть , , , – безразмерные переменные, где – масштаб длины, - масштаб времени, - масштаб скорости, – масштаб давления. Тогда уравнения (1), (2) перепишутся в виде:

Выберем , , так, что , и обозначим – безразмерная скорость звука.

В результате получим систему уравнений (1), (2) в безразмерной форме:

В дальнейшем для простоты выкладок черту над независимыми переменными и искомыми функциями будем опускать.

Математическая модель узла и условия сопряжения

Место соединения труб с дополнительным отводом (подводом) жидкости будем описывать моделью с сосредоточенными параметрами (моделью узла). При этом будем считать, что в узле:

а) происходит полное мгновенное перемешивание жидкости;

б) нет местных сопротивлений.
Пусть уравнения (1), (2) заданы на отрезках (ребрах) графа, содержащего J вершин и K отрезков; - множество номеров отрезков, примыкающих к j-ому узлу; - множество номеров отрезков, из которых жидкость поступает в данный узел; - множество номеров отрезков, которые отводят жидкость из узла. Тогда для j-го узла можно записать следующие балансовые соотношения, вытекающие из закона сохранения массы [1,2]:

-скорость в концевом (начальном) сечении m-ой трубы.

-сосредоточенный подвод (отвод) жидкости в узле.

-площадь сечения m-ой трубы.

Рисунок 1

Для «стыковки» моделей трубы и узла сформулируем условия примыкания. Будем пренебрегать местными сопротивлениями вблизи узла по сравнению с гидравлическими сопротивлениями по длине труб. Тогда условия примыкания имеют вид:

.

Где - сосредоточенный параметр в узле (узловое давление), - давление в концевом (начальном) сечении m-й трубы.

В этом случае при заданных сосредоточенных параметрах условия примыкания обеспечивают единственность решения уравнений (1), (2) на отрезках, так как было отмечено, что для системы необходимо задавать по одному граничному условию на входных и выходных сечениях системы трубопровода.

Численный метод