Дипломная работа: Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем

Тогда интегралы в формулах (31), (32) вычисляются с локальной погрешностью , и глобальная погрешность будет равняться , что и подтверждается вычислительными экспериментами.

Также для сравнения были проведены расчеты уравнений (31), (32) с помощью формулы трапеций.

Отметим, что коэффициенты системы (30) получаются в итоге постоянными величинами.

Исследования свойств схемы

Для исследования устойчивости метода прогонки и монотонности схемы используем принцип максимума, т.е. если в системе уравнений (30) , , и , то в матрице системы уравнений (30) присутствует диагональное преобладание, матрица является монотонной и выполняется оценка [6].

Рассмотрим коэффициенты системы уравнений (30):

Отсюда следует, что схема является монотонной и метод прогонки устойчив.

Устойчивость по времени нетрудно показать с помощью спектрального признака устойчивости [5].

Перепишем уравнение (9) в следующей форме:

и решение (33) будем искать в виде: Тогда подставляя это выражение в (33) получим следующее уравнение:

и следовательно,

Очевидно, что

Отсюда следует, что схема абсолютно устойчива.

Для исследования порядка аппроксимации системы (5), (6) схемой (7), (8) разложим точное решение системы по формуле Тейлора в окрестности точки , предполагая наличие непрерывных вторых производных:

Подставляя эти значения в (7), (8) и, используя, свойства и системы (5), (6) получим невязку:

Таким образом, учтя погрешность при вычислении коэффициентов (31), (32) , система (5), (6) имеет аппроксимацию .