Дипломная работа: Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

Заменим в формулах (4) единичный вектор нормали на его выражение (1), получим,

(6)

Для подробного вывода нужно знать тождество:

.

Продолжим рассуждения.

Так как векторы и ортогональны (первый, разумеется лежит в касательной плоскости к поверхности, а второй лежит в плоскости нормального сечения).

Поэтому

.

Откуда

Отсюда, дифференцируя, получим:

(7)

Это дает еще один способ расчета второй квадратичной формы.

([5],[6]) (8)

Отсюда же можно получить новые формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы. Впрочем, удобнее продифференцировать по и по очевидные равенства

и .

Воспользовавшись соотношениями (4), получаем, что

(9)

Вторая квадратичная форма эффективна при выяснении графических свойств регулярной поверхности.

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

Пусть – регулярная поверхность и – ее параметрическое задание.

Выберем на поверхности некоторую точку и рассмотрим плоскость , которая касается поверхности в этой точке.

Отклонение произвольной точки поверхности от плоскости определим по формуле

(1)

В этой формуле – единичный вектор нормали к поверхности в точке . Это отклонение, взятое по абсолютной величине, равно расстоянию от точки до плоскости . Отклонение положительно, если точка и конец вектора лежат по одну сторону от касательной плоскости, соответственно, оно отрицательно, если они лежат по разные стороны от касательной плоскости в точке .

Рассмотрим формулу (1).

Разность допускает следующую интерпретацию

(2)

Где