Дипломная работа: Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

(2) – дифференцируемая функция переменных и . Отметим, что функции коэффициентов второй и первой квадратичных форм определяются только выбором точки и от переменных и не зависят.

Полагая

,

получим, что

Так как функция

непрерывна и , то на отрезке она либо постоянна, либо имеет хотя бы один максимум. Это и означает, что в каждой точке - регулярной поверхности есть два различных главных направления.

Определение 1.4.

Экстремальные значения нормальных кривизн в главных направлениях называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

Укажем способ вычисления главных кривизн в данной точке регулярной поверхности.

Из формулы (2) вытекает тождество относительно переменных и

(3)

Продифференцируем это тождество по . Учитывая, что производная нормальной кривизны в главном направлении обращается в нуль, получим для главного направления

(4)

(5)

Здесь – главная кривизна в направлении .

Рассматривая полученные соотношения (4) и (5) как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и , получим, что эта система всегда имеет ненулевое решение, так как в данной точке регулярной поверхности всегда есть главные направления.

Из этого вытекает, что

Вычисляя определитель, мы получим квадратное уравнение для искомой функции (внимание… мы его будем использовать при некоторых выкладках далее).

(6)

Возможны два случая.

Случай 1.

Квадратное уравнение имеет два различных корня и .

Этим корням на поверхности соответствует два различных главных направления.

Случай 2.

Уравнение (6) имеет один корень кратности 2 .