Дипломная работа: Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана
Умножим обе части равенства (2) скалярно на вектор и положив
, .
Получим, что
(3)
Разумеется, вдумчивый (или хотя бы немного читающий эти выкладки) читатель поймет, что коэффициенты
,
,
указанные в формуле (3) вычислены в точке , в окрестности которой мы и рассматриваем исходную поверхность .
Из курса линейной алгебры известно, что свойства квадратичной формы во многом определяются ее дискриминантом. А скорее даже знаком квадратичной формы.
Вычислим дискриминант второй квадратичной формы в точке .
Рассмотрим все возможные случаи.([7],[8],[9],[10],[11])
Случай 1.
Т.е. вторая квадратичная форма поверхности в заданной точке является знакоопределенной.
Зафиксируем в точке некоторое направление на поверхности. Пускай .
Тогда любое другое направление на поверхности в точке можно задавать при помощи угла , который оно образует с уже выбранным направлением.
Положим
,
Тогда
(4)
Нетрудно показать, что
,
где постоянная
а в силу условия
положительна.
Таким образом неравенство