Дипломная работа: Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

Умножим обе части равенства (2) скалярно на вектор и положив

, .

Получим, что

(3)

Разумеется, вдумчивый (или хотя бы немного читающий эти выкладки) читатель поймет, что коэффициенты


,

,

указанные в формуле (3) вычислены в точке , в окрестности которой мы и рассматриваем исходную поверхность .

Из курса линейной алгебры известно, что свойства квадратичной формы во многом определяются ее дискриминантом. А скорее даже знаком квадратичной формы.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы в точке .

Рассмотрим все возможные случаи.([7],[8],[9],[10],[11])

Случай 1.

Т.е. вторая квадратичная форма поверхности в заданной точке является знакоопределенной.

Зафиксируем в точке некоторое направление на поверхности. Пускай .

Тогда любое другое направление на поверхности в точке можно задавать при помощи угла , который оно образует с уже выбранным направлением.

Положим

,


Тогда

(4)

Нетрудно показать, что

,

где постоянная

а в силу условия

положительна.

Таким образом неравенство

К-во Просмотров: 495
Бесплатно скачать Дипломная работа: Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана