Дипломная работа: Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

Такая точка называется точкой уплощения поверхности. Расположение поверхности, близ таких точек может быть самым разнообразным.

Например, все точки плоскости являются точками уплощения.

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Нам осталось рассмотреть еще немного понятий, прежде чем приступить к исследованиям. Рассмотрим на поверхности произвольную - регулярную кривую, проходящую через точку в направлении .

Пусть

- естественная параметризация кривой. Вычислим в точке три вектора

- единичный вектор касательной к кривой

,

- единичный вектор нормали к поверхности

- и вектор

Эта тройка векторов линейно независима. Это позволяет представить вектор

в виде линейной комбинации

Так как , то

.

Коэффициенты и имеют специальные названия.

– нормальная кривизна кривой

– геодезическая кривизна кривой.

Примем без доказательства следующую формулу для вычисления нормальной кривизны поверхности в заданном направлении

(1)

Как видно из этой формулы нормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от направления на поверхности.

Определение 1.3.

Направление на поверхности называется главным, если нормальная кривизна в этом направлении достигает экстремального значения.

Покажем, что в каждой точке -регулярной поверхности найдется не мене двух различных главных направлений.

Пусть – произвольное направление в точке на поверхности . Тогда