Дипломная работа: Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

Теперь уже гораздо проще подобрать необходимый пример.

Итак, рассмотрим поверхность.

Проверим, что в каждой точке выполняется равенство: .

Замечание 4. Строго говоря, мы тут допустили неточность. А именно: . Т.е. производная тета-функции Хэвисайда – дельта-функция Дирака. Поэтому,

.

Однако, простое геометрическое рассуждение может убедить нас, что вторым слагаем можно пренебречь. Действительно, посмотрим на график функции:

Очевидно, что в нуле наклон касательной к графику функции равен нулю, а функция равна нулю всюду, кроме, быть может, нуля, следовательно, вклад в значение производной эта функция не вносит. Таким образом, Наше выражение для производной вполне корректно.

.

Проверим условие коллинеарности векторов и .

Как мы видим, они коллинеарны в каждой точке.

Теперь нам надо отыскать три прямые, которые вместе не лежат в параллельных плоскостях.

Для этого найдем три значения направляющего вектора этих прямых.

,

,

Если эти три вектора некомпланарны, то отвечающие им прямые (для которых они являются направляющими векторами) не лежат в параллельных плоскостях, т.е. являются искомыми.

.

Т.е. эти прямые действительно не лежат в параллельных плоскостях.

Ниже на рисунке изображен пример такой поверхности. Мы отчетливо видим, как на этой поверхности есть прямы, соответствующие данным векторам.

Более простой пример можно построить, убрав требование о том, что неколлинеарен .

Найдем вектор, который в каждой точке обладает свойством, обратным к данному.

Пусть коллинеарен вектору при каждом значении параметра. Например: